Che cosa è una crescita esponenziale? E come si applica al Coronavirus?
12/11/2020 Matematica & Statistica 0

In questi giorni sentiamo molto parlare di “crescita esponenziale dei contagi” e del pericolo dell’instaurarsi di questo meccanismo. Ma cogliamo veramente il significato di una crescita esponenziale e il pericolo che si cela dietro questo meccanismo?

Andiamo indietro nel tempo, poiché saranno un Faraone e una scacchiera a dispiegare e dipanare il vero significato di una crescita esponenziale dei contagi.

Un giorno un ambasciatore persiano arrivò in Egitto e mostrò al Faraone il gioco degli scacchi, questi lo guardò perplesso e incuriosito. Dopo aver ascoltato con molta attenzione le regole ed effettuato una partita di prova, i due si sfidarono per tutta la notte. Il Faraone, nonostante le ripetute sconfitte, imparò ad apprezzare la bellezza del gioco degli scacchi e l’intelligenza del suo avversario.

Così, nonostante le molteplici sconfitte, volle dimostrare al suo ospite la propria gratitudine. Invitò allora l’ambasciatore a esprimere un desiderio con la promessa di esaudirlo.

L’ambasciatore rispose che voleva solo del semplice grano: un chicco sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza e così via, raddoppiando a ogni casella, fino alla sessantaquattresima casella.

Il Faraone era stupito da una richiesta a suo parere così modesta e diede subito ordine al Gran tesoriere di provvedere immediatamente.

Il funzionario trascorse oltre una settimana a fare i conti. La cifra che si manifestò dai numeri era gigantesca e improponibile. Così torno al cospetto del Faraone e dichiarò di fronte a tutta la corte: “Per pagare l’ambasciatore non solo non è sufficiente il raccolto dell’intero Egitto, ma non lo è neppure quello del mondo intero, e non basteranno nemmeno i raccolti dell’intero mondo nei prossimi dieci anni!”.

Eccoci qua, secondo voi applicando la regola del raddoppio quale numero ha generato un singolo chicco di grano su una scacchiera con 64 caselle? Ebbene, il numero tanto temuto dal Gran tesoriere di corte è il seguente: 9.223.372.036.854.775.808.

Come potete capire, da piccoli numeri nascono grandi numeri. Tutto ciò con un semplice raddoppio, pensate se avessimo triplicato o quintuplicato quel semplice e innocuo chicco di grano.

Matematicamente, il raddoppio effettuato dai chicchi di grano sulla scacchiera viene chiamata “elevazione a potenza”. Facciamo qualche esempio:

  • 20 = 1 (qualsiasi numero elevato a zero dà come risultato 1 e questo rappresenta la prima casella della scacchiera)
  • 21 = 2 (seconda casella)
  • 22 = 4 (terza casella)
  • 23 = 8 (quarta casella)
  • 24 = 16 (quinta casella)
  • 25 = 32 (sesta casella)
  • 210 = 1.024 (undicesima casella)
  • 220 = 1.048.576 (ventunesima casella)
  • 230 = 1.073.741.824 (trentunesima casella)
  • Fino ad arrivare alla 64° casella rappresentata da 263 (9.223.372.036.854.775.808, ovvero 9 miliardi di miliardi…)

Adesso provate a guardare i risultati: non notate nulla di strano? Avrete sicuramente notato come più si procede ad aumentare l’esponente e più i numeri crescono velocemente (diventando sempre più grandi), ebbene è proprio questa velocità a rappresentare il pericolo di una crescita esponenziale dei contagi. Perché per quanto inizialmente la salita dei contagi possa sembrare lenta, innocua e facilmente gestibile da un sistema sanitario, ben presto quei contagi cresceranno sempre più velocemente mettendo sotto stress il sistema sanitario, con tutte le conseguenze che ormai abbiamo potuto osservare da Marzo in poi.

Per capire come si possa applicare questo concetto di crescita esponenziale a questo periodo che stiamo vivendo, provate a sostituire nella scacchiera i chicchi di grano con le persone e capirete il pericolo che si cela dietro comportamenti scorretti, apparentemente innocui, che possono alimentare quella crescita. Perché come il Faraone potreste essere indotti a sminuire un piccolo numero e a non considerarlo una minaccia, ebbene può non essere una minaccia nell’immediato, ma nel tempo, senza le giuste accortezze e un pizzico di altruismo, verrà generato un numero così grande che reclamerà un prezzo troppo salato, in termini di vite umane (e non solo).

Facciamo qualche esempio con dei numeri reali (riferiti all’Italia):

07/11/2020

Nuovi positivi in un giorno: 39.811

Supponiamo, in prima analisi, che questi 39.811 riescano a contagiare in media almeno una persona ciascuno (senza contare la presenza di un eventuale “super-diffusore” che potrebbe contagiare, da solo, anche 100 o più persone in un unico giorno). Significa che ci saranno, in seguito, circa 40.000 positivi in più contagiati solo da queste persone, ovvero circa 80.000 contagiati complessivi (che vanno ad aggiungersi a tutti gli altri). Tutto questo con i contagi di un solo giorno. Nella realtà questo numero potrebbe essere inferiore o superiore, dal momento che è determinato soprattutto dal comportamento delle persone e dalle misure adottate per il contenimento del contagio.

In seconda analisi bisogna considerare anche il concetto di “tempo di raddoppio”, ovvero in quanto tempo i contagi raddoppiano rispetto al tempo. Questo è un valore molto importante, c’è differenza nel dire che i positivi raddoppiano in 15 giorni rispetto a dire che raddoppiano in 2 giorni.

In poche parole, questo valore ci dice con che velocità avviene questa crescita esponenziale (che potrebbe essere lenta o veloce). Anche questo valore è influenzato dai nostri comportamenti individuali e dai provvedimenti presi per il contenimento del contagio.

Nella seconda metà di Ottobre 2020 il tempo di raddoppio del numero di nuovi casi in Italia era di circa 6 giorni. Questo significa che il numero dei nuovi casi raddoppiava, in quel periodo, all’incirca ogni settimana (questo equivale a passare alla casella successiva della “scacchiera” ogni settimana). Prendendo in considerazione sempre i dati del 07/11/2020, se il tempo di raddoppio dovesse rimanere intorno ai 7 giorni (in questi giorni sta lentamente aumentando, grazie alle ultime misure di contenimento), significa che potremmo arrivare ad avere quasi 100.000 nuovi casi giornalieri a fine Novembre, fino ad avere l’intera popolazione contagiata nel giro di pochi mesi, con conseguenze drammatiche.

È qui che sta la differenza tra restrizioni leggere e lockdown, poiché una crescita esponenziale lenta o una crescita lineare porterebbe a restrizioni più leggere rispetto a una crescita esponenziale molto accelerata che ci potrebbe condurre verso un secondo lockdown totale.

Continuiamo la nostra analisi analizzando la proporzione tra contagiati asintomatici e sintomatici nel contesto di una crescita esponenziale, nonostante questo virus si manifesti in larga parte in assenza di sintomi bisogna considerare comunque che in una crescita esponenziale crescono sia gli asintomatici che i sintomatici proporzionalmente e quando questa è molto accelerata si genera – in un breve lasso di tempo – un numero di sintomatici tale da mettere fortemente sotto stress il sistema sanitario e, nella peggiore delle ipotesi, farlo collassare. Quindi non dobbiamo pensare che siccome gli asintomatici sono molti di più rispetto ai sintomatici si possa andare in deroga a comportamenti di auto-responsabilità, perché sarà quell’eccezione alla regola ripetuta a generare il meccanismo di crescita esponenziale e a renderlo più o meno veloce.

In contrapposizione alla crescita esponenziale dei contagi abbiamo la crescita lineare, la quale rappresenta pur sempre un valore in aumento ma, a differenza della prima, lo fa molto più lentamente e genera un numero di contagiati nettamente inferiore nel lungo periodo.

Adesso cerchiamo di dare massa ai concetti esposti fin qui, in basso è possibile vedere un grafico dove sono illustrate due funzioni, una lineare e una esponenziale. Sull’asse delle ascisse troviamo i valori assegnati al tempo e sull’asse delle ordinate troviamo il numero dei contagiati, con il colore blu è rappresentata una crescita esponenziale e con il colore arancione una crescita lineare. Già visivamente si può notare l’enorme differenza tra le due.

  • Prendiamo in esame le due funzioni al tempo 3, la crescita lineare ha prodotto un numero di contagiati di 15 e invece la crescita esponenziale solo 8, perché come abbiamo detto prima la crescita esponenziale inizialmente cresce lentamente e questo può indurci in inganno ma ben presto comincerà ad accelerare sempre di più.
  • Prendiamo in esame le due funzioni al tempo 5, la crescita lineare ha prodotto 25 contagi, invece l’esponenziale 32, si ha così il “sorpasso”.
  • Prendiamo in esame l’intervallo temporale compreso tra 5 e 7, qui si può notare benissimo l’estrema differenza tra le due crescite e come quella esponenziale acceleri più rapidamente rispetto a quella lineare che rimane costante nella sua velocità.
  • Al tempo 6 la crescita esponenziale ha generato 64 contagi e quella lineare solo 30, ma è al tempo 7 che possiamo notare la vera natura di una crescita esponenziale e la sua pericolosità, poiché l’esponenziale genera 128 contagi e la lineare solo 35.
Grafico con due esempi di crescita dei contagi, una lineare e una esponenziale

Un’ultima chiosa: tutte le pandemie hanno origine con un singolo individuo per poi espandersi al resto della popolazione. Pensateci bene: l’epidemia è iniziata da una singola persona e il comportamento di ogni singola persona può deciderne l’evoluzione.

In questo momento storico ogni persona ha un enorme potere tra le mani, ovvero scegliere se distruggere o proteggere. A voi la scelta.

Con il rispetto di quelle poche e semplici regole come distanziamento, igiene delle mani e un uso corretto della mascherina avrete la possibilità di ottenere, con un piccolo sacrificio oggi, un domani più sereno.

Abbiate parsimonia del vostro futuro.

Francesco Grignano

Sono un ex studente di Medicina e attualmente studio Economia e Commercio presso l'Università di Pisa. Ho deciso di mettere a disposizione le conoscenze acquisite nel mio percorso accademico in questo progetto, per sensibilizzare e cercare di fare chiarezza tra le innumerevoli informazioni che ci bombardano ogni giorno, spesso dissonanti o apparentemente tali.

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